Sifat Lapangan pada Bilangan Real

Sifat atau Aksioma Lapangan

Dalam struktur aljabar, sistem himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dinotasikan dengan (R, +, \cdot), merupakan suatu lapangan (field). Suatu lapangan terdiri beberapa aksioma yang dapat diturunkan menjadi teorema. Berikut ini sifat lapangan pada bilangan real.

1. a + b = b + a untuk setiap a , b \in \mathbb{R} (komutatif pada penjumlahan);
2. (a+b) + c = a + (b+c) untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R}. (asosiatif pada penjumlahan);
3. Terdapat unsur 0 \in \mathbb{R} sehingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk setiap a \in \mathbb{R} (identitas pada penjumlahan);
4. Untuk setiap a \in \mathbb{R} terdapat unsur -a \in \mathbb{R} sehingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0 (invers pada penjumlahan);
5. a \cdot b = b \cdot a untuk setiap a, b \in \mathbb{R}  (komutatif pada perkalian);
6. (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) untuk setiap a, b, c \in \mathbb{R}  (asosiastif pada perkalian);
7. Terdapat unsur 1 \in \mathbb{R} sehingga 1 \cdot a = a dan a \cdot 1 = a untuk setiap a \in \mathbb{R}  (identitas pada perkalian);
8. Untuk setiap a \neq 0 \in \mathbb{R} terdapat unsur \frac{1}{a} \in \mathbb{R} sehingga a \cdot (1/a) = 1 dan (1/a) \cdot a = 1  (invers pada perkalian);
9. a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) dan (b+c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a) untuk setiap a, b, c \in \mathbb{R}  (distribusi perkalian terhadap penjumlahan).

Penggunaan Aksioma Lapangan

Berikut ini beberapa teorema yang dapat kita buktikan dengan sifat lapangan pada bilangan real di atas.

0 \cdot a \stackrel{1}{=} (0+0) \cdot a \stackrel{2}{=} 0 \cdot a + 0 \cdot a

\begin{aligned}
0 \cdot a + (-(0\cdot a)) &= 0 \cdot a + 0\cdot a + (-(0 \cdot a))\\
0 &= 0 \cdot a + 0\\
0 &= 0 \cdot a
\end{aligned}

\begin{aligned}
0 \cdot a &= 0\\
(1+ (-1)) \cdot a &= 0 & \text{(invers pada penjumlahan)}\\
1 \cdot a + (-1) \cdot a &= 0 &\text{(distribusi perkalian)}\\
a + (-1) \cdot a &= 0 & \text{(identitas pada perkalian)}\\ 
(-1) \cdot a &= -a & \text{(invers pada penjumlahan)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
-(a+b) + (a+b) &= 0  & \text{(identitas pada penjumlahan)}\\
(-(a+b) + a) + b &= 0 & \text{(asosiatif pada penjumlahan)}\\
-(a+b)+a &= -b &\text{(invers pada penjumlahan)}\\
-(a+b) + a + (-a) &= (-b) + (-a)\\
-(a+b) + 0 &= (-b) + (-a) & \text{(invers pada penjumlahan)}\\
-(a+b) &= (-b) + (-a) & \text{(identitas pada penjumlahan)}\\
-(a+b) &= (-a) + (-b) & \text{(komutatif pada penjumlahan)}
\end{aligned}