Pada bulan Maret 2022, saya berpartisipasi dan memenangkan sebuah kuis terbuka yang diselenggarakan oleh Matematika FMIPA Universitas Andalas. Kuis tersebut berupatantangan untuk menyelesaikan limit (tan(x) – x)/x^3 dengan x menuju 0 tanpa aturan L’Hôpital. Mari simak pembahasan berikut.
Pertama, amati bahwa bentuknya menjadi 0/0^3 jika disubstitusikan dengan x = 0. Oleh karena itu, kita coba lakukan sesuatu pada \tan(x) .
Perhatikan identitas trigonometri berikut.
\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}Misalkan k = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}. Kita akan mencari nilai dari k. Substitusikan x = 2a. Karena 2a \to 0 , maka a \to 0 .
\begin{aligned}
k &= \lim_{2a \to 0} \frac{\tan(2a)- 2a}{(2a)^3}\\
&= \lim_{a \to 0} \frac{\frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} - 2a}{8a^3}\\
&= \lim_{a \to 0} \frac{\frac{\tan(a)}{1 - \tan^2(a)} - a}{4a^3}\\
4k &= \lim_{a \to 0} \frac{\frac{\tan(a)}{1 - \tan^2(a)} - a}{a^3}\\
&= \lim_{a \to 0} \left( \frac{1}{1-\tan^2 a} \cdot \frac{\tan(a) - a + a \tan^2(a)}{a^3}\right)\\
&= \lim_{a \to 0} \frac{1}{1-\tan^2 a} \cdot \lim_{a \to 0} \left( \frac{\tan(a)-a}{a^3} + \frac{a \tan^2(a)}{a^3}\right) \\
&= \lim_{a \to 0} \frac{1}{1-\tan^2 a} \cdot \left( \lim_{a \to 0} \frac{\tan(a)-a}{a^3} + \lim_{a \to 0} \frac{\tan^2(a)}{a^2}\right)\\
&= 1 \cdot \left(k + 1\right)\\
3k &= 1
\end{aligned}Oleh karena itu, k = \frac{1}{3} .
