Pembahasan OSN-P Matematika SMA Tahun 2020 Nomor 9

Pada artikel ini, saya akan membahas soal OSN-P atau OSP Matematika SMA Tahun 2020 Nomor 9. Soal ini melibatkan konsep polinomial.

Soal

Suatu polinomial P(x) memenuhi

P\left( x + \frac{2}{x} \right) = \frac{x^3+1}{x} + \frac{x^3+8}{2x^2} +3

Tentukan nilai dari P(1) .

Pembahasan

Pertama, amati bahwa solusi dari x + \frac{2}{x} = 1 berupa bilangan imajiner sehingga akan sulit jika kita melakukan substitusi dengan nilai x tersebut. Selanjutnya, uraikan bentuk pecahan di ruas kanan. Kemudian lakukan pengelompokan.

\begin{aligned}
P\left( x + \frac{2}{x} \right) &= \frac{x^3+1}{x} + \frac{x^3+8}{2x^2} +3\\
&= x^2 + \frac{1}{x} + \frac{x}{2} + \frac{4}{x^2} + 3\\
&= x^2+\frac{4}{x^2} +4 + \frac{x}{2}+\frac{1}{x}+3-4\\
&= \left(x^2+\frac{4}{x^2} +4\right) + \frac{1}{2} \left(x+\frac{2}{x}\right) - 1\\
&= \left(x + \frac{2}{x}\right)^2 + \frac{1}{2} \left(x+\frac{2}{x}\right) - 1\\
\end{aligned}

Substitusi persamaan di atas dengan x + \frac{2}{x} = a. Diperoleh polinomialnya adalah berikut ini.

P(a)=a^2+ \frac{1}{2}a-1

Oleh karena itu, diperoleh P(1) = \frac{1}{2} .