Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial berbentuk y’ = (Ax+By+C)/(Dx+Ey+F)? Mari simak pembahasannya berikut ini.
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut dengan A, B, C, D, E, dan F adalah konstanta.
\frac{dy}{dx} = \frac{Ax+By+C}{Dx+Ey+F}Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut, kita perlu membaginya menjadi dua kasus, yaitu 1) A/D = B/E, dan 2) A/D \neq B/E.
Kasus 1: A/D = B/E
Misalkan k = \frac{A}{D} = \frac{B}{E}.
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{Ax + By + C}{Dx + Ey + F}\\
&= \frac{B(\frac{A}{B}x + y) + C}{E (\frac{D}{E}x +y)+F}\\
&= \frac{B(kx + y) + C}{E (kx +y)+F}
\end{aligned}Misalkan Y = Y(x), yaitu Y merupakan fungsi terhadap x. Definisikan Y = kx + y.
\begin{aligned}
\frac{dY}{dx} &= k + \frac{dy}{dx}\\
&= k + \frac{BY+C}{EY+F}\\
&= \frac{kEY+kF+BY+C}{EY+F}\\
\end{aligned}Selanjutnya selesaikan persamaan diferensial di atas dengan separasi variabel.
\begin{aligned}
\int \frac{EY+F}{kEY + kF + BY + C} \, dY &= \int dx\\
\int \frac{EY+F}{(kE + B)Y + kF + C} \, dY &= x + K_1\\
\end{aligned}Lalu tentukan solusi integral di atas dan substitusikan kembali Y = kx + y. Akhirnya, diperoleh solusi dari persamaan diferensial tersebut.
Kasus 2: A/D ≠ B/E
Definisikan dua buah fungsi X = X(x) = x - r dan Y = Y(y) = y - s dengan r dan s adalah suatu konstanta. Kita peroleh x = X + r dan y = Y + s. Dengan aturan rantai, kita peroleh berikut ini.
\frac{dY}{dX} = \frac{dY}{dy} \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dX} = \frac{dy}{dx}💡 Perhatikan bahwa \frac{dY}{dy} = 1 dan \frac{dx}{dX}=1.
\begin{aligned}
\frac{dY}{dX} &= \frac{Ax+By+C}{Dx+Ey+F}\\
&= \frac{A(X+r) +B(Y+s) + C}{D(X+r) + E(Y+s) +F}\\
&= \frac{AX+BY+Ar+Bs+C}{DX+EY+Dr+Es+F}
\end{aligned}Kita bisa memilih nilai r dan s sedemikian sehingga Ar + Bs + C = 0 dan Dr + Es + F = 0.
Selesaikan sistem persamaan linear berikut untuk menentukan nilai r dan s.
\begin{cases} Ar + Bs + C =0\\ Dr+Es+F =0\end{cases}Akibatnya, kita peroleh persamaan diferensial homogen berikut.
\frac{dY}{dX} = \frac{AX+BY}{DX+EY}Selanjutnya, kita akan menyelesaikannya dengan cara mendefinisikan fungsi v yang memenuhi Y = v X. Dengan aturan turunan perkalian fungsi, kita peroleh sebagai berikut.
\frac{dY}{dX} = \frac{dv}{dX}X +v \frac{dX}{dX} = \frac{dv}{dX}X+vKemudian substitusikan kedua persamaan tersebut.
\begin{aligned}
\frac{dv}{dX} X + v &= \frac{AX+BY}{DX+EY}\\
&= \frac{A+Bv}{D+Ev}\\
\frac{dv}{dX}X &= \frac{A+Bv}{D+Ev} -v\\
&= \frac{A+(B-D)v - Ev^2}{D+Ev}
\end{aligned}Lakukan separasi variabel.
\begin{aligned}
\int \frac{D+Ev}{A+(B-D)v - Ev^2} dv&= \int \frac{dX}{X}\\
&= \ln|X| + K_1\\
&= \ln|x-r|+K_1
\end{aligned}Selanjutnya, kita perlu menyelesaikan integral di atas. Terakhir, substitusikan v= \frac{Y}{X}, X=x-r, dan Y=y-s.
Contoh Soal dan Solusi
Problem 1
\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+4}{x-y-6}Jawab:
Soal ini memenuhi kasus 2. Tinjau solusi sistem persamaan linier berikut.
\begin{cases}
r+s+4=0\\
r-s-6 =0
\end{cases}Diperoleh r = 1 dan s = -5. Definisikan X = x - r = x - 1 dan Y = y - s = y + 5.
Dengan aturan rantai, kita peroleh berikut ini.
\frac{dY}{dX} = \frac{dY}{dy} \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dX} = \frac{dy}{dx} = \frac{x+y+4}{x-y-6}= \frac{X+Y}{X-Y}Bentuk di atas adalah persamaan diferensial homogen. Definisikan v = \frac{Y}{X}, maka
Y =vX \implies \frac{dY}{dX} = \frac{dv}{dX}X+ vLalu,
\begin{aligned}
\frac{dv}{dX} X + v &= \frac{X + Y}{X - Y}\\
&= \frac{1+v}{1-v} \\
\frac{dv}{dX}X &= \frac{1+v}{1-v}-v\\
&= \frac{1+v^2}{1-v}
\end{aligned}Lakukan separasi variabel.
\begin{aligned}
\int \frac{1-v}{1+v^2} dv &= \int \frac{1}{X}dX\\
&= \ln|X| +K_1\\
&= \ln|x-1| + K_1
\end{aligned}Terakhir, selesaikan integral pada ruas kiri.
\begin{aligned}
\arctan(v) - \tfrac{1}{2} \ln|1+v^2| +K_2 &= \ln|x-1|+K_1\\
\arctan\left(\frac{y+5}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left|1+ \frac{(y+5)^2}{(x-1)^2}\right| &= \ln|x-1| +K\\
\arctan \left( \frac{y+5}{x-1} \right) &= \ln \sqrt{(x-1)^2+(y+5)^2} +K
\end{aligned}Referensi
First Order ODE in form y’ = F ((a x + b y + c) over (d x + e y + f)) – ProofWiki
