Pada awal pelajaran integral tentu (definite integral), nilai suatu integral digambarkan sebagai luas daerah di bawah kurva suatu fungsi. Kemudian, kita juga telah mempelajari konsep turunan (derivative) dari suatu fungsi. Apakah ada hubungan antara konsep turunan dan integral tentu? Simak pembahasannya pada Teorema Dasar Kalkulus berikut ini.
Daftar Isi
Teorema Dasar Kalkulus I
Teorema Dasar Kalkulus I (disingkat dengan TDK I) menjelaskan kaitan antara turunan dan integral tentu. Dalam literatur berbahasa Inggirs, teorema ini disebut dengan Fundamental Theorem of Calculus.
Teorema Dasar Kalkulus I
Misalkan f kontinu pada interval tutup [a,b] dan misalkan variabel x di interval buka (a,b), maka
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)
Bukti. Definisikan F(x) = \int_a^x f(t) \ dt. Misalkan h > 0. Perhatikan bahwa
\begin{aligned} F(x+h) - F(x) &= \int_a^{x+h} f(t) \ dt - \int_a^x f(t) \ dt \\
&= \int_x^a f(t) \, dt + \int_a^{x+h} f(t) \, dt \\
&= \int_x^{x+h} f(t) \ dt \end{aligned}Misalkan m dan M secara berurutan adalah nilai minimum dan nilai maksimum dari f pada interval [x,x+h].
Dengan properti keterbatasan dari nilai integral tentu, diperoleh
\begin{gathered} mh \leq \int_x^{x+h} f(t) dt \leq Mh \\ mh \leq F(x+h) - F(x) \leq Mh\\ m \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq M \end{gathered}Perhatikan bahwa nilai m dan M bergantung pada nilai h. Ketika h \to 0, nilai m dan M haruslah menuju f(x). Dengan demikian, menurut Teorema Apit,
\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f(x) Ingat definisi turunan. Akibatnya,
\begin{aligned} \frac{d}{dx} F(x) &= f(x)\\ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) &= f(x) \end{aligned}Kasus h < 0 dapat dibuktikan dengan cara yang serupa. Q.E.D.
Teorema Dasar Kalkulus II
Teorema Dasar Kalkulus I dapat kita gunakan untuk membuktikan Teorema Dasar Kalkulus II.
Teorema Dasar Kalkulus II
Misalkan f kontinu pada interval tutup [a,b] dan misalkan F sebarang anti-turunan f di [a,b], maka
\int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a)
Bukti. Untuk x \in [a,b], definisikan G(x) = \int_a^x f(t) \ dt. Menurut TDK I, G'(x) = f(x) untuk semua x \in (a,b). Akibatnya, G(x) adalah anti-turunan dari f(x). Perhatikan bahwa F(x) juga anti-turunan dari f(x). Karena F'(x) = G'(x) , maka terdapat konstanta C sehingga F(x) = G(x) + C.
Karena G(a) = \int_a^a f(t) \ dt = 0, maka F(a) = G(a) + C = 0 + C = C. Oleh karena itu,
\begin{aligned} F(b) - F(a) &= [G(b) + C] - C\\ &= G(b)\\ &= \int_a^b f(t) \ dt \\ &= \int_a^b f(x) \ dx \end{aligned}Q.E.D.
Referensi
- Dale Varberg, Edwin Purcell, Steve Rigdon. 2006. Calculus, Edition 9th. USA: Prentice Hall.
