Arsip Soal Kuis Matematika 2A (Kalkulus 2) serta Pembahasan

Pada artikel ini saya akan membagikan soal kuis matematika 2A (kalkulus 2) serta pembahasannya. Soal-soal berikut saya peroleh dari pekerjaan saya sebagai asisten grader pada sebuah kelas TPB ITB.

Nomor 1

Diberikan tiga buah titik P(-1,0,2), Q(0,1,2), R(2,1,4).

1. Tentukan vektor \mathbf u = \overrightarrow{PQ} dan v = \overrightarrow QR.
2. Hitung \lVert2 \mathbf u+ \mathbf v\rVert.
3. Tentukan \mathbf u \times \mathbf v.
4. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik P, Q, dan R.

Solusi:

1. Kurangi titik ujung dengan titik pangkal, maka diperoleh vektornya.
   \begin{aligned} \mathbf u &= Q-P\\ &= (0,1,2) - (-1,0,2)\\ &= \left<0-(-1), 1-0, 2-2 \right>\\ &= \left<1,1,0 \right> \end{aligned} \begin{aligned} \mathbf v &= R-Q\\ &= (2,1,4) - (0,1,2)\\ &= \left<2-0, 1-1, 4-2 \right>\\ &= \left<2,0,2 \right> \end{aligned}
2. Hitung nilai vektornya terlebih dahulu, lalu hitung panjang vektornya.
   \begin{aligned}2 \mathbf u + \mathbf v &= 2 \left<1,1,0 \right> + \left<2,0,2 \right>\\ &= \left< 2 \cdot 1 + 2, 2 \cdot 1 + 0, 2 \cdot 0 + 2\right>\\ &= \left<4, 2, 2 \right>\\ \lVert 2 \mathbf u + \mathbf v \rVert &= \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{24}\end{aligned}
3. Hasil kali silang vektor dapat kita hitung dengan cara menghitung nilai determinan berikut.
   \begin{aligned} \mathbf u \times \mathbf v &= \left \lvert \begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix} \right\rvert \\ &= (1 \cdot 2 - 0 \cdot 0) \hat i - (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) \hat j + (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \hat k \\&= 2 \hat i - 2 \hat j - 2 \hat k \end{aligned}
4. Gunakan hasil kali silang vektor pada poin c untuk menentukan persamaan bidang P, Q, dan R.
   2x - 2y - 2z = k Substitusikan salah satu titik pada bidang tersebut untuk memperoleh nilai k. Kita peroleh persamaan bidangnya adalah 2x - 2y - 2z = -6.

Nomor 2

Diberikan persamaan diferensial tak homogen y'' - 4y' + 3y = 2e^{3x}.

1. Tentukan persamaan karakteristik dari persamaan diferensial tersebut.
2. Tentukan solusi homogennya (y_h).
3. Tentukan solusi partikularnya (y_p).

Solusi:

1. Persamaan karakteristiknya adalah r^2 - 4r + 3 = 0.
2. Persamaan karakteristik pada poin a dapat digunakan untuk menentukan solusi homogen.
   \begin{aligned}r^2 - 4r +3 = 0 &\implies (r-3)(r-1) = 0 \\&\implies r = 3; \, r = 1 \end{aligned} Jadi, solusi homogennya adalah y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x}.
3. Kita dapat menentukan solusi partikularnya dengan metode koefisien tak-tentu (undetermined coefficient). Misalkan solusinya berbentuk y_p = Axe^{3x}. Catatan: solusi tersebut memiliki pengali x karena bentuk e^3x sudah ada pada solusi homogen.
   \begin{aligned}y_p' &= Ae^{3x} + 3Axe^{3x} \\ y_p'' &= 6Ae^{3x} + 9Axe^{3x} \\ y_p'' - 4y_p' + 3y_p &= 2Ae^{3x}\end{aligned} Karena 2Ae^{3x} = 2e^{3x}, maka A = 1. Jadi, solusi partikularnya adalah y_p = xe^{3x}.