Metode faktor integrasi merupakan metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial berbentuk y'+P(x)y = Q(x). Ide dari metode ini berasal dari aturan turunan perkalian dua buah fungsi serta turunan fungsi eksponen. Simak pembahasannya sebagai berikut.
Review Turunan Perkalian Dua Buah Fungsi
Misalkan dua fungsi u = u(x) dan v=v(x), maka berlaku
\frac{d}{dx}(uv) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot\frac{dv}{dx}atau bisa juga dituliskan dengan notasi (uv)' = u'v + uv'.
Langkah Penyelesaian dengan Metode Faktor Integrasi
Faktor integrasi yang digunakan adalah e^{\int P(x) \, dx} atau bisa juga dituliskan sebagai \exp(\int P(x) \, dx). Kalikan kedua ruas persamaan diferensial dengan faktor integrasi.
\begin{aligned}
e^{\int P(x) \, dx} y' + e^{\int P(x) \, dx} P(x)y &= Q(x)e^{\int P(x) \, dx}
\end{aligned}Amati bahwa ruas kiri merupakan turunan dari e^{\int P(x) \, dx} y.
Bukti
\frac{d}{dx} \left(e^{\int P(x) \, dx} y\right) = e^{\int P(x) \, dx} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(e^{\int P(x) \, dx}) yGunakan aturan rantai untuk menurunkan ruas kanan. Misalkan u = \int P(x) \, dx, maka e^{\int P(x) \, dx} = e^u dan \frac{du}{dx} = P(x). Akibatnya,
\frac{d}{dx}(e^{\int P(x) \, dx}) = \frac{d(e^u)}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot P(x) = e^{\int P(x) \, dx} P(x)Oleh karena itu,
\frac{d}{dx} \left(e^{\int P(x) \, dx} y\right) = e^{\int P(x) \, dx} y' + e^{\int P(x) \, dx} P(x) yKita dapat tuliskan sebagai berikut. Kemudian, pindahkan dx ke ruas kanan dan integralkan.
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left( e^{\int P(x) \, dx} y\right) &= Q(x) e^{\int P(x) \, dx}\\
e^{\int P(x) \, dx}y &= \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} dx
\end{aligned}Langkah terakhir, bagi kedua ruas dengan faktor integrasi.
y = \frac{1}{e^{\int P(x) \, dx}} \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} dxContoh Soal dan Solusi
Problem 1
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut.
y' + \frac{2}{x}y =3Jawab:
Gunakan faktor integrasi berikut. Kita bisa memilih konstanta dari \int \frac{2}{x} dx bernilai 0 agar perhitungannya lebih mudah.
\exp \left(\int \frac{2}{x} \, dx \right) = \exp(2 \ln x) = \exp(\ln x^2) = x^2Kalikan kedua ruas persamaan diferensial dengan x^2.
\begin{aligned}
x^2y' + 2xy &= 3x^2 \\
\frac{d}{dx} (x^2 y) &= 3x^2 \\
x^2 y &= \int 3x^2 \, dx\\
x^2 y &= x^3 + C\\
y &= x + \frac{C}{x^2}
\end{aligned}Sekian pembahasan mengenai metode faktor integrasi untuk persamaan diferensial berbentuk y' + P(x)y = Q(x) . Semoga bermanfaat. Jika ada pertanyaan ataupun koreksi, silakan berikan komentar.
