Tentukan nilai maksimum dari xy^2 jika x+y=5 dan x, y bilangan real positif.

Biasanya dalam menentukan nilai maksimum dari suatu fungsi, kita menggunakan konsep kalkulus, yaitu mencari titik stasionernya terlebih dahulu. Akan tetapi, kita tidak boleh menggunakan konsep kalkulus dalam mengerjakan soal olimpiade matematika. Lebih lanjut, kita justru bisa menyelesaikan soal ini dalam bentuk yang lebih umum, daripada meninjau kasus khusus seperti penyelesaian soal kalkulus.

Bentuk Umum

Dengan ketaksamaan AM – GM, kita peroleh

\begin{aligned}
  \underbrace{\frac{x}{m}+\frac{x}{m} + \cdots+\frac{x}{m}}_{m} + \underbrace{\frac{y}{n} + \frac{y}{n} + \cdots + \frac{y}{n}}_{n} &\geq  (m+n)\sqrt[m+n]{\left(\frac{x}{m}\right)^m\left(\frac{y}{n}\right)^n}\\
x + y & \geq (m+n)\sqrt[m+n]{\left(\frac{x}{m}\right)^m\left(\frac{y}{n}\right)^n}\\
(x+y)^{m+n} &\geq (m+n)^{m+n}\left(\frac{x}{m}\right)^m\left(\frac{y}{n}\right)^n\\
x^m y^n &\leq \frac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}} (x+y)^{m+n}\\
&= \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}} \cdot k^{m+n}
\end{aligned}

dengan kesamaan terjadi jika \frac{x}{m} = \frac{y}{n}.

Kita peroleh nilai maksimum x^m y^n adalah \frac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}} \cdot k^{m+n}.

Hal terpenting dari bentuk umum ini bukanlah rumusnya, melainkan cara pengerjaannya.

Contoh

Agar kalian dapat lebih mudah memahaminya, simak pembahasan dari soal berikut.

Dengan ketaksamaan AM – GM, kita peroleh

\begin{aligned}
  x + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} &\geq  3 \cdot\sqrt[3]{x \cdot \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}}\\
  x + y &\geq 3 \cdot\sqrt[3]{\frac{xy^2}{4}}\\
  (x+y)^3 &\geq 27 \cdot\frac{xy^2}{4}\\
  xy^2 &\leq \frac{4}{27}(x+y)^3\\
&= \frac{4}{27}\cdot 5^3\\
&= \frac{500}{27}
\end{aligned}

Jadi, nilai maksimum xy^2 adalah \frac{500}{27} dan bernilai maksimum ketika (x,y) = (\frac{5}{3}, \frac{10}{3}).

Latihan untuk Pembaca

Sekian pembahasan pada artikel ini. Jika ada pertanyaan ataupun tanggapan, silakan kalian tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat.