Hampiran Turunan dengan Metode Beda Hingga

Secara analitik, turunan suatu fungsi di suatu titik ditentukan oleh nilai limit berikut.

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Pada umumnya, komputer hanya dapat menyelesaikan perhitungan secara numerik. Oleh karena itu, kita memerlukan hampiran nilai turunan yang dapat kita peroleh dari Deret Taylor.

f(a+h) = f(a) + hf'(a) + \frac{h^2}{2!} f''(a) + \frac{h^3}{3!}f^{(3)}(a) + \cdots

Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan turunan pertamanya ke dalam bentuk persamaan berikut.

f'(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} - \frac{h}{2!}f''(a) - \frac{h^2}{3!}f^{(3)}(a) - \cdots

Hampiran turunan dengan metode beda hingga (finite difference) dengan galat orde-1 kita peroleh sebagai berikut.

f'(a) \approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Bentuk hampiran atau aproksimasi tidak hanya dapat dilakukan dengan cara di atas. Terdapat bentuk-bentuk lainnya yang dapat kita peroleh dari ekspansi Deret Taylor.

Mari kita lakukan diskretisasi pada fungsi f(x) dengan x_i = x_0 + ih dan f_i = f(x_i) terlebih dahulu.

Terdapat tiga jenis metode beda hingga yang dapat kita gunakan, yaitu:

• Beda maju (forward difference). Hampiran dengan menggunakan informasi pada titik x_0 dan beberapa titik di sebelah kanannya.
• Beda mundur (backward difference). Hampiran dengan menggunakan informasi pada titik x_0 dan titik di sebelah kirinya.
• Beda pusat (central difference). Hampiran dengan menggunakna informasi pada titik x_0 dan titik di sebelah kirinya dan titik sebelah kanannya secara simetris.

Beda Maju

Gunakan informasi pada (x_0,f_0) dan (x_1,f_1) untuk mengaproksimasi f'_0 = f'(x_0).

Jawab:

Perhatikan Deret Taylot berikut.

f_1 =f_0+hf'_0 +\frac{h^2}{2!}f''_0 + \cdots

Akibatnya kita peroleh sebagai berikut.

f'_0= \frac{f_1-f_0}{h} - \frac{h}{2!}f''_0 - \frac{h^2}{3!}f^{(3)}_0 - \cdots

Dengan demikian,

f'_0 \approx \frac{f_1-f_0}{h} \quad  \text{dengan galat }O(h)

Beda Mundur

Gunakan informasi dari (x_{-2},f_{-2}), (x_{-1},f_{-1}), (x_0,f_0) untuk mengaproksimasi f'_0.

Jawab:

Dengan Deret Taylor kita peroleh:

\begin{gathered}
 f_{-2} = f_0-2hf'_0 + \frac{4h^2}{2!}f''_0 -\frac{8h^3}{3!} f^{(3)}_0) + \cdots\\
f_{-1}= f_0 -hf'_0 + \frac{h^2}{2!} f''_0 -\frac{h^3}{3!}f^{(3)}_0 + \cdots
\end{gathered}

Kita eliminasi suku f''_0 . Dengan demikian, kita peroleh hampirannya sebagai berikut.

f'_0 \approx \frac{f_{-2}-4f_{-1} + 3f_0}{2h} \quad \text{dengan galat } O(h^2) 

Beda Pusat

Gunakan informasi dari (x_{-1},f_{-1}), (x_0,f_0), (x_1,f_1) untuk mengaproksimasi f'_0.

Jawab:

Perhatikan deret Taylor berikut.

\begin{gathered}
 f_{-1}= f_0 -hf'_0 + \frac{h^2}{2!} f''_0 -\frac{h^3}{3!}f^{(3)}_0 + \cdots\\
f_1 = f_0 + hf'_0 + \frac{h^2}{2!} f''_0 + \frac{h^3}{3!}f^{(3)}_0 + \cdots
\end{gathered}

Kita lakukan eliminasi pada suku f''_0 . Dengan demikian, kita peroleh hampirannya sebagai berikut.

f'_0 \approx \frac{f_1 - f_{-1}}{2h} \quad \text{dengan galat } O(h^2)

Contoh Lainnya

f''_0 \approx \frac{f_1-2f_0+f_{-1}}{h^2} \quad \text{dengan galat } O(h^2)