Perhatikan persamaan diferensial parsial berikut.
\alpha u_{xx} =u_t, \quad 0 < x < L, \quad t > 0dengan syarat batas u(0,t) = a , u(L,t) = b , dan syarat awal u(x,0) = f(x) .
Persamaan di atas merupakan persamaan yang menggambarkan panas yang merambat dari satu titik ke titik lainnya pada sebuah material yang panjang. Persamaan tersebut dapat kita selesaikan melalui metode separasi variabel. Dalam memformulasikan solusinya, kita memerlukan pengetahuan mengenai deret Fourier. Deret Fourier dapat kita gunakan untuk menghampiri fungsi f(x) yang periodik.
Keperiodikan Fungsi
Suatu fungsi periodik f disebut mempunyai periode T > 0 jika f(x + T) = f(x) . Jika fungsi f memiliki periode T , maka fungsi tersebut juga periodik dengan periode 2T, 3T, \cdots, nT , dengan n merupakan bilangan bulat positif. Nilai T terkecil sehingga f(x+T) = f(x) berlaku disebut periode dasar dari fungsi f .
Apakah fungsi konstan juga merupakan fungsi periodik? Tentu saja karena fungsi konstan memenuhi definisi tersebut. Periodenya adalah sebarang bilangan real positif. Tidak ada periode dasar karena tidak ada bilangan real terkecil yang lebih besar daripada 0.
Selanjutnya, berikut ini sifat keperiodikan dari kombinasi linier dua fungsi dan keperiodikan dari hasil kali dua fungsi.
Misalkan fungsi f dan g periodik dengan periode T , dan
\begin{gathered}
F(x) = c_1 f(x) + c_2 g(x)\\
G(x) = f(x) g(x)
\end{gathered}maka F dan G juga periodik dengan periode T .
Keortogonalan Fungsi Trigonometri
Diberikan dua buah fungsi f dan g yang bernilai real pada selang \alpha < x < \beta . Hasil kali dalam (inner product) dari fungsi f dan g didefinisikan sebagai
\left< f,g \right> = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) g(x) \, dxFungsi f dan g disebut orthogonal jika hasil kali dalamnya bernilai nol.
Himpunan fungsi trigonometri
\{1, \sin x, \cos x, \cdots, \sin nx, \cos nx \}, \quad n \in \mathbb{Z}saling orthogonal pada selang -\pi \leq x \leq \pi . Dengan demikian:
- \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx = 0, \quad (n \neq m) .
- \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx = 0, \quad (n \neq m) .
- \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx = 0
Pada nomor 1 dan 2, kita dapat periksa hasilnya dengan sifat perkalian trigonometri. Pada nomor 3 kita cukup perhatikan bahwa hasil kali fungsi ganjil dengan fungsi genap adalah fungsi ganjil, maka nilai integral dengan domain tersebut bernilai 0.
Deret Fourier
Deret tak hingga
\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)disebut deret Fourier.
Misalkan deret Fourier di atas konvergen ke suatu fungsi f(x) , maka
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)Untuk memperoleh a_0 , perhatikan berikut ini.
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos n x + b_n \sin nx\right) \right] \, dx\\
&= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} \, dx + \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \sum_{n=1} ^{\infty} \left(a_n \cos nx + b_n \sin nx\right)\right] \, dx\\
&= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} \, dx + \sum_{n=1} ^{\infty} \left(a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx + \int_{-\pi}^{\pi} b_n \sin nx\right)\\
&= \frac{a_0}{2} [x]^{\pi}_{-\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cdot 0 + b_n \cdot 0 \right)\\
&= a_0 \cdot\pi\\
a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx
\end{aligned}Notasi integral dan penjumlahan diskret di atas dapat kita tukar urutannya karena sifat linearitas dari integral. Silakan coba ekspansi penjumlahan diskret di atas, maka akan kita peroleh hasil yang sama dengan bentuk di atas.
Lalu, bagaimana dengan koefisien lainnya? Perhatikan berikut ini.
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos mx \, dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \right] \cos mx \, dx\\
&= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} \cos mx \, dx + \sum_{n=1}^{\infty}\left (a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx \, dx + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx \right)\\
&= 0 + a_m \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 mx + 0\\
&= a_m \cdot \pi\\
a_m &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos mx \, dx
\end{aligned} Akibatnya, kita bisa gunakan formula di atas. Perhatikan juga bahwa m = 0 juga memenuhi.
Dengan cara yang serupa kita bisa juga dapatkan b_n , yaitu dengan mengalikan \sin mx pada f(x) . Berikut kesimpulannya.
\begin{gathered}
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\\
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad n=0,1,2,3, \cdots\\
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx, \quad n=1,2,3,4, \cdots
\end{gathered}Kekonvergenan Deret Fourier
Pada bagian sebelumnya kita mengasumsikan suatu Deret Fourier konvergen ke fungsi f(x) . Namun, penentuan nilai koefisien pada bagian sebelumnya tidak menjamin Deret Fourier tersebut konvergen ke fungsi f(x) .
Teorema
Misalkan f(x) fungsi periodik dengan periode p = 2\pi , di mana f(x) dan f'(x) kontinu bagian demi bagian (piecewise continous) pada interval - \pi \leq x \leq \pi , maka fungsi f(x) memiliki Deret Fourier.
Deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) di semua titik yang f kontinu, dan konvergen ke [f(x^{+}) + f(x^{-})]/2 di semua titik yang f tidak kontinu.
Deret Fourier untuk Fungsi Periodik dengan Periode Sembarang
Misalkan fungsi g(x) periodik dengan periode p = 2L , yang diketahui rumusnya pada selang - L \leq x \leq L .
Dengan transformasi x = \frac{L \xi}{\pi} , fungsi g(x) dapat ditransformasikan menjadi fungsi f(\xi) yang periodik dengan periode p = 2 \pi.
f(\xi) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos n \xi + b_n \sin n \xi \right)Kita peroleh sebagai berikut.
g(x) = f\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \left( \frac{n \pi x}{L}\right) + b_n \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right)\right)
dengan
\begin{aligned}
a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} g(x) \cos \left(\frac{n\pi x}{L} \right) \, dx\\
b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} g(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right) \, dx
\end{aligned}
