Pada artikel ini, saya akan membahas soal OSN-P atau OSP Matematika SMA Tahun 2019 Nomor 14. Soal ini melibatkan konsep polinomial.
Soal
Tentukan polinom P(x) yang memenuhi persamaan
P(x^2)=x^{2019}(x+1)P(x)dengan P(\tfrac{1}{2}) = -1
Pembahasan
Misalkan derajat dari polinom P(x) adalah n. Dari persamaan polinom yang diberikan, diperoleh sebagai berikut:
\begin{aligned}
2n &= 2019+1+n\\
n&=2020
\end{aligned}Jadi, P(n) berderajat 2020. Selanjutnya, misalkan m adalah pangkat terkecil dari variabel x pada polinom P(x), maka diperoleh sebagai berikut.
\begin{aligned}
2m &= 2019 + 0 +m\\
m&=2019
\end{aligned}Dengan demikian, kita peroleh bentuk polinomial sebagai berikut.
P(x)=Ax^{2020}+Bx^{2019}Substitusikan polinomial tersebut ke persamaan polinomial pada soal.
\begin{aligned}
P(x^2) &= x^{2019}(x+1)P(x)\\
Ax^{4040} + Bx^{4038} &= x^{2019}(x+1)\left(Ax^{2020}+Bx^{2019}\right)\\
x^{4038} \left(Ax^2+B\right)&=x^{4038}(x+1)(Ax+B) \\
Ax^2 + B &= Ax^2 +(A+B)x + B
\end{aligned}Dengan demikian, A+ B = 0 \implies B = -A.
\begin{aligned}
P(x) &= Ax^{2020}-Ax^{2019}\\
&= Ax^{2019}(x-1)\\
P(\tfrac{1}{2})&= A \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2019}(\tfrac{1}{2}-1)\\
-1&=-\frac{A}{2^{2020}} \\
A &= 2^{2020}
\end{aligned}Jadi, P(x) = 2^{2020}x^{2019}(x-1).
Sekian pembahasan soal OSN-P atau OSP Matematika SMA Tahun 2019 nomor 14. Semoga bermanfaat.
