Mengapa Deret 1/n Divergen?

Deret 1/n memiliki nama lain, yaitu deret harmonik. Pada artikel ini saya akan membagikan bukti bahwa deret harmonik merupakan deret yang divergen. Mari kita membahas definisi kekonvergenan dari suatu deret terlebih dahulu. Misalkan penjumlahan dari suatu deret hingga suku ke-n adalah S_n . Suatu deret disebut konvergen ke suatu bilangan real S jika S_n \to S ketika n \to \infty . Jika tidak terdapat suatu bilangan real S yang memenuhi definisi kekonvergenan, maka deret tersebut disebut divergen.

Misalkan

S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots

Lakukan pengelompokan pada deret tersebut. Kelompokkan dari suku ke-(2^n + 1) hingga suku ke-(2^{n+1}) untuk setiap bilangan asli n.

\begin{aligned}
S &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8} \right) + \cdots\\
&> 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{8} \right) + \cdots\\
&= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots\\
&= \infty
\end{aligned}

Karena S \gt \infty , maka kita peroleh S merupakan deret yang divergen.