Pembahasan OSN-K Matematika SMA 2024

OSK atau OSN-K (Olimpiade Sains Nasional tingkat Kabupaten) merupakan salah satu ajang perlombaaan yang bergengsi di Indonesia. Oleh karena itu, setiap sekolah yang berpartisipasi pada perlombaan ini menyiapkan murid terbaiknya. Beberapa tahun terakhir, soal OSN-K atau OSK terbagi menjadi dua bagian, yaitu kemampuan dasar dan kemampuan lanjut. Bobot bagian kemampuan dasar adalah 1 poin tanpa pengurangan poin apabila memberikan jawaban yang salah, sedangkan bobot bagian kemampuan lanjut adalah 4 poin serta pengurangan 1 poin apabila memberikan jawaban yang salah. Berikut ini soal serta pembahasan dari OSN-K atau OSK Matematika SMA 2024.

Kemampuan Dasar

Nomor 1

Sebuah persegi dibagi menjadi 2 persegi panjang, seperti terlihat pada gambar. Diketahui hasil penjumlahan keliling kedua persegi panjang tersebut adalah 60, maka luas persegi adalah …

solusi:

Misalkan panjang sisi persegi tersebut adalah s dan lebar persegi panjang bagian atas adalah a, maka lebar persegi panjang yang bawah adalah s-a. Keliling persegi panjang bagian atas adalah 2s+2a dan keliling persegi panjang bagian bawah adalah 2s+2(s-a)=4s-2a. Penjumlahan keliling kedua persegi panjang tersebut adalah (2s+2a) + (4s - 2a) = 6s = 60. Kita peroleh s = 10. Jadi, luas persegi tersebut adalah 10^2 = 100.

Nomor 2

Diketahui ada 6 pilihan jalan yang dapat digunakan untuk berpergian dari kota A ke kota B, dan ada 8 pilihan jalan yang dapat digunakan untuk berpergian dari kota B ke kota C. Jika seseorang akan berpergian dari kota A ke kota C melalui kota B dan pulang kembali lagi ke kota A melalui jalan-jalan yang berbeda dari ketika saat pergi, banyaknya cara memilih jalan yang dapat dilalui adalah . . .

solusi:

Soal ini dapat kita selesaikan dengan konsep aturan perkalian pada kombinatorika. Banyak pilihan cara dari kota A ke kota C melalui kota B adalah 6 \times 8 = 48 rute. Selanjutnya, ia akan kembali dari kota C ke kota A melalui kota B dengan jalan yang berbeda, banyak pilihan caranya adalah (8-1) \times (6-1) = 7 \times 5 = 35. Jadi, banyak pilihan caranya adalah 48 \times 35 = 1680 cara.

Nomor 3

Pada papan tertulis 90 bilangan asli 1, 1, . . . , 1, a, b (ada sebanyak 88 bilangan 1). Hasil penjumlahan seluruh bilangan di papan adalah A dan demikian juga hasil perkalian semua bilangan di papan adalah A. Nilai A adalah . . .

solusi:

Perhatikan bahwa A = 88 + a + b dan A = ab

\begin{aligned}
ab &= 88 + a + b\\
ab-a-b &= 88\\
ab-a-b+1 &= 89\\
(a-1)(b-1) &= 89
\end{aligned}

Amati bahwa 89 merupakan bilangan prima sehingga pasangan faktor positifnya hanya 1 dan 89. Kasus -1 \cdot -89 tidak memenuhi karena a,b \in \mathbb{N}. Dengan demikian, (a,b) = (90,2) atau (a,b) = (2,90). Jadi, A = ab = 2 \times 90 = 180.

Metode pemfaktoran seperti ini dikenal dengan nama Simon’s Favorite Factoring Trick.

Nomor 4

Misalkan a dan b merupakan bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan positif selain 1. Jika berlaku

\frac{1+2+3+\cdots + 104}{3+4+5+\cdots + 106} = \frac{a}{b}

maka nilai a + b adalah …

solusi:

Dengan konsep deret aritmetika, kita peroleh sebagai berikut.

\begin{aligned}
\frac{a}{b} &= \frac{1+2+3+\cdots + 104}{3+4+5+\cdots + 106} \\
&= \frac{104 \cdot \frac{(104+1)}{2}}{104 \cdot \frac{(3+106)}{2}}\\
&= \frac{105}{109}
\end{aligned}

Jadi, a+b = 105 + 109 = 214.

Nomor 5

Bilangan OSK adalah bilangan 4 angka yang tidak dimulai dengan angka 0 dan hasil penjumlahan semua digitnya adalah 8. Sebagai contoh, 2024 merupakan bilangan OSK. Banyaknya bilangan OSK adalah . . .

solusi:

Misalkan bilangan OSK berbentuk \overline(abcd), maka berlaku a+b+c+d = 8 dan a \neq 0. Misalkan a' = a-1. Pemisalan ini memudahkan kita karena ketika a' = 0, diperoleh a = 1 (tidak melanggar syarat a tak nol). Dengan demikian, permasalahan ini ekuivalen dengan banyaknya solusi a' + b + c +d = 7 dengan a', b, c, d merupakan bilangan bulat non-negatif. Dengan stars and bars, diperoleh banyak bilangan OSK adalah

\begin{pmatrix}7+3 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix} = \frac{10!}{3! \, 7!} = 120

Nomor 6

Misalkan u_1,u_2,u_3,\dots suatu barisan geometri dengan u_1 > u_2 . Jika u_2 = 8 dan u_5 +u_7 = \frac{17u_6}{4}. Nilai dari u_1 adalah . . .

solusi:

Karena barisan tersebut merupakan barisan geometri, maka suku ke-n adalah u_n = ar^{n-1} dengan a = u_1 dan r adalah rasionya. Karena u_1 > u_2, maka r < 1.

\begin{aligned}
u_5 +u_7 &= \frac{17u_6}{4}\\
u_1r^{4} + u_1r^{6} &= \frac{17}{4} \cdot u_1r^{5}\\
1 + r^2 &= \frac{17}{4}r\\
4r^2-17r+4 &= 0\\
(4r-1)(r-4)&= 0
\end{aligned}

Kita peroleh r = \frac{1}{4}. Jadi,

u_1 = \frac{u_2}{r} = \frac{8}{1/4} = 32

Nomor 7

Diberikan segiempat ABCD dengan luas segitiga AED sama dengan luas segitiga BEC. Jika AB = 50, AE = 45, dan AC = 108, maka CD adalah …

solusi:

Dengan aturan sinus dan kesamaan sudut, terlihat hubungan sebagai berikut.

\begin{aligned}
[AED] &= [BEC]\\
\frac{1}{2} \cdot AE \cdot DE \cdot \sin \angle AED &= \frac{1}{2} \cdot   BE \cdot EC \cdot \sin \angle BEC\\
AE \cdot DE &= BE \cdot EC\\
\frac{DE}{BE} &= \frac{EC}{AE} = \frac{108-45}{45} = \frac{7}{5}
\end{aligned}

Dengan hubungan SAS (side-angle-side), segitiga ABE sebangun dengan segitiga CDE. Oleh karena itu,

CD = \frac{7}{5}AB = \frac{7}{5} \cdot 50 = 70

Nomor 8

Banyak bilangan dua digit \overline{ab} dengan a, b \neq 0 sehingga \overline{ab} + \overline{ba} merupakan kelipatan 66 adalah …

solusi:

Amati bahwa \overline{ab} + \overline{ba} = 10a+b+10b+a = 11a+11b = 66k \implies a + b = 6k dengan k merupakan bilangan bulat positif.

• Kasus ke-1: a+b = 6. Solusinya adalah (a,b) \in \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}. Ada 5 solusi.
• Kasus ke-2: a+b = 12. Solusinya adalah (a,b) \in \{(3,9), (4,8), (5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3)\}. Ada 7 solusi.
• Kasus ke-3: a+b = 18. Solusinya adalah (a,b) = (9,9). Ada 1 solusi.

Jadi, ada 13 solusi.

Nomor 9

Misalkan k adalah bilangan bulat positif terkecil kelipatan 2024 yang memiliki 28 faktor positif. Sisa hasil bagi k oleh 100 adalah …

solusi:

Perhatikan bahwa 2024 = 2^3 \times 11 \times 23 memiliki (3+1)(1+1)(1+1)=16 faktor positif. Jika ada bilangan prima selain 2, 11, dan 23 yang membagi k, maka banyak faktor positif terkecil yang mungkin adalah 16 \times 2 = 32 > 28 (tinjau k = 2024 \cdot p untuk p prima). Oleh karena itu, haruslah k hanya habis dibagi 2, 11, dan 23.

• Kasus ke-1: k = 2024 \cdot 11^x atau k = 2024 \cdot 23^x untuk x bilangan bulat positif. Banyak faktor positifnya adalah (3+1)(1+x+1)(1+1) = 8x + 16 = 28 sehingga x = \frac{3}{2}. Kontradiksi.
• Kasus ke-2: k = 2024 \cdot 2^x untuk x bilangan bulat positif. Banyak faktor positifnya adalah (3+x+1)(1+1)(1+1) = 4x + 16 = 28 sehingga x = 3.

Oleh karena itu, k = 2^3 \cdot 2024.

\begin{aligned}
k &\equiv 2^{3} \cdot 2024 \pmod{100}\\
&\equiv 2^{3} \cdot 24 \pmod{100}\\
&\equiv 8 \cdot 24 \pmod{100}\\
&\equiv 192 \pmod{100}\\
&\equiv 92 \pmod{100}
\end{aligned}

Nomor 10

Misalkan x,y bilangan real positif dengan x > y. Jika diketahui bahwa x^2+y^2 = \frac{545}{272} xy, maka nilai \frac{x+y}{x-y} adalah …

solusi:

Amati bahwa (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = \frac{545}{272}xy + 2xy = \frac{1089}{272} xy dan (x-y)^2 = x^2+y^2 - 2xy = \frac{545}{272}xy - 2xy = \frac{1}{272}xy. Ingat bahwa x,y bilangan real positif dengan x > y. Akibatnya,

\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} =1089 \implies \frac{x+y}{x-y} = 33

Klik halaman 2 untuk membaca soal dan pembahasan nomor 11-20.